十个人赛跑第一名，和一百人赛跑的第十名谁厉害？

不考虑两个样本间的水平差异，平均来讲，是 10 个人赛跑第 1 名更厉害一些。

这道数学题，其实等价于：100 个人里随机抽取 10 个人，他们中的第 1 名，在 100 个人中的平均排名，是在第 10 名以前，还是第 10 名以后？

对于这个问题，直接用各个名次的概率分布算期望值，大概会比较麻烦，我现在在地铁上，也算不出来。

但我想到一种「奇妙」的解法：

设有 100 个球要排序，我先取出 10 个球排成一排，然后把剩下的 90 个球随机塞在最左、最右或者任意两个球之间。

最初 10 个球之间的缝隙，算上最左、最右，共有 11 个。所以平均来讲，每个缝隙会塞 90/11 个球。

于是，最初 10 个球中最左边的那个球（也就是第 1 名），平均最终会排在 101/11 的位置上。

这个数大约是 9.18，是小于 10 的。

因此，10 个人中的第 1 名，平均来讲，要比 100 个人中的第 10 名要好一些。用那个「奇妙」的算法容易算得，它的平均水平，应该等同于 109 个人中的第 10 名，或者，更一般化地说，是在足够多人参加比赛时的前 1/11。

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进阶：那么，「各个名次的概率分布」可以算嘛？可以的。

简单的排列组合问题。100 选 10，总共组合数：

。

如果 10 人中的第 1 名排在 100 人中的第 k 名，那么说明其他 9 个人都在第 k+1 名及以后。

于是满足条件的组合数为：

故所求的排名期望：

这个公式看起来不好算，其实用 Excel 可以简单完成：

最终得到的结果同样是 9.18，这说明之前的算法是正确的。

此外，可以画出各个排名的概率分布和累计概率分布：

可以看到，10 个人中的第 1 名，在 100 个人中排名前 10 的概率是 66.95%，大约是 2/3 的样子。中位数是在第 7 名，但是由于长尾，平均排名就变成了 9.18。

这个问题直觉上当然是第一名厉害。而且完全不需要那么复杂。

我们先随机找一百个人赛跑，然后从这一百个人里面抽十个人出来。那么问题马上变成，抽出的这十个人里面有排名前十的概率有多大，这个概率就是第一名比第十名厉害或者打平手的概率。这个概率显而易见的超过了 50%，所以十个人赛跑的第一名不输给一百个人赛跑的第十名的概率较大。

推广开来，在 N 个人比赛中得第一名的人不输给在 N*N 个人比赛中得第 N 名的概率较大。

刚写了个程序来验证，首先可以确定的是如果仅仅是验证 十个人赛跑的第一名不输给一百个人赛跑的第十名的概率较大 这一点的话，那么程序已经得出了明确的结论，这个概率已经超过了 50%。

其他的结论的证明我还需要想一下怎么改写程序。（塞球的算法似乎在某种程度上也得到了验证，我还需要思考一下如何设计一个程序）。

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稍微花一点儿篇幅讲一下为什么我认为这个概率显而易见的超过了 50%，这里面的逻辑非常简单：

因为我知道，对于任何抽奖活动，中奖率为 1/n，则抽取 n 次中奖的概率大于 50%。

很符合直觉，但是也要证明一下，首先考虑 n=2 的情况：

那么中奖概率显然是 50%+50%*50%=75%。

n=3 的时候就是：

即抽一次不中奖的概率是

，抽两次是

，抽三次就是

其实很显然的我们应该可以看出来，当 n 趋于无穷，这个概率的极限是

然后我们从这个式子也能轻松看出，随着 n 的增长，概率是下降的，而下降的极限不低于 0.6321，所以显然大于 50%。

其实也完全没有必要计算出 0.6321，因为我们都知道 e>2，所以 1-1/e 必然大于 50%。

而这个概率是综合中奖率，等于每次抽取的结果不影响后续抽取的概率，而在 100 选 10 这种操作中，后续抽取的概率要高于 1/10，换言之，100 选 10 抽取到前 10 的概率还要高于这个概率，所以显然大于 50%。