从水龙头下落的水为何会越来越细？

这个问题是射流现象(Fluid Jet or Jet)中最简单的一个问题，一般称为Free-Falling Fluid Jet问题。即便如此，由于流体力学的复杂性，至今仍有学者在孜孜不倦地研究着这个问题。

当然，如果只是为了解释生活中的常见情况，那么现有研究结果还是足够的。我们首先定性地看一下这个问题，从水龙头中流出的水在重力的作用下不断加速，因此流速是越来越大。而又由于流量守恒，截面积只会越来越小（流量=截面积 x 流速），因此水柱越来越细。接下来我们来定量计算一下，这时候就需要相关的流体力学知识了。

如上图所示，我们考虑的流动是大雷诺数流动，此时流动可视为无粘流动(实际上水的粘性本身就很小)，但同时需要保证流动仍是层流。那么现在流动可看作简单的一维流动，我们可以在

两点之间使用伯努利方程。

考虑流量守恒则有

考虑下面两种情况，

（1）忽略表面张力。

此时

,根据上面两式，可解得，

这就是水流半径和流速随高度的变化关系式。当然，我们完全可以将水流理解为自由落体运动的，只是为了形式的统一性，才用伯努利方程表示。下面跟实验结果对比一下。

可以看到，上述理论结果与实验结果符合良好。如果要解释生活的现象，上面的公式就足够了。为了满足大家的学习热情，下面我们开始进一步的分析，这就是第二种情况。

（2）考虑表面张力。

根据 Young-Laplace 公式（不了解的话可参见我的其他回答），

,

根据伯努利方程和流量守恒，解得

式中，

称为 Fr 数（Froude Number）,表征惯性力和重力的相对大小。

称为 We 数（Weber Number）,表征惯性力和表面张力的相对大小。

这个公式加入了表面张力修正，因此适用范围更广。而在日常生活中的水龙头流水现象中，We 数一般比较大，因此公式中的最后一项可以忽略掉，又回到了第一种情况，这意味着我们忽略表面张力是合理的。但要明确的是，我们是在无粘条件下进行讨论的，如果考虑粘性的话，情况就更复杂了，很多文献提出了各种粘性耗散的估计方法，有感兴趣的读者可进一步参阅文末参考文献。我注意到有很多人提到如下图所示的水柱被拉断并形成液滴的情况，这其实是因为Plateau-Rayleigh 不稳定性(The Plateau-Rayleigh Instability)，有机会再答吧。

【参考文献】

【1】Massalha, T., & Digilov, R. M. (2013). The shape function of a free-falling laminar jet: Making use of Bernoulli's equation.American Journal of Physics,81(10), 733-737.

【2】Grubelnik, V., & Marhl, M. (2005). Drop formation in a falling stream of liquid.American journal of physics,73(5), 415-419.

【3】Gamez-Montero, P. J., Castilla, R., Freire, J., Khamashta, M., & Codina, E. (2016). An empirical methodology for prediction of shape and flow rate of a free-falling non-submerged liquid and casting iron stream.Advances in Mechanical Engineering,8(9), 1687814016669635.