为什么水龙头的水流落到洗手池的时候会形成一圈空白？

这个现象叫做水跃(Hydraulic Jump)，或者更具体点，叫做圆形水跃(Circular Hydraulic Jump)，指一束射流垂直撞击平板，随后射流在平板上向四周铺展形成液膜，在射流速度较高时，液膜的厚度会在某处会突然增大，形成水跃。这种现象大家见的最多的地方就是在厨房里了，打开水龙头便是，如图 1,2 所示，可以看到，内圈往往因为液膜太薄且分布均匀，视觉上会让人误以为没有水。

如此平平无奇，俯拾皆是的一个现象，人类为理解它却花费了巨大的努力。直至今天，学术界还在为此争论不休。关于水跃形成的原因，目前公认的解释为重力主导。在射流撞击平板后，液膜往四周铺展，最初阶段因阻力较小，是一个惯性加速的阶段，此时液膜缓慢变薄，随着粘性边界层的逐渐发展，液膜受到的阻力越来越大，导致液体流量的积累从而产生厚度的突增，也就是水跃。在水跃点前后，重力产生的水压维持这样一个动量减小的过程，也就是说，如果没有重力，就无法形成水跃。

但是大家肯定不满足于定性解释，想看到一些定量的结论。比如最直观的一个问题，就是如何根据参数去计算水跃半径。为了回答这个问题，我们先从水跃问题的研究历史讲起。

第一个登场的人物是达芬奇(1452-1519)，他在 15 世纪的时候首先描述并记载了这个现象[1]。这一点不意外，达芬奇由于其敏锐的观察力，使得他成为很多自然科学问题的研究先驱。

在此之后，直到 1914 年，才由瑞利勋爵（1904 年诺贝尔物理学奖获得者）给出第一个描述水跃的理论[2]。瑞利认为重力是导致水跃的主要原因，并根据无粘流体假设，给出了一个水跃半径预测公式。然而遗憾的是，这个理论公式与实验结果偏差较大，主要的原因在于液膜厚度与粘性边界层相当，此时粘性不可忽略。

到了 1964 年，一个叫沃森的人，从流体力学中的纳维 - 斯托克斯出发，结合边界层理论，推导出了水跃半径的理论公式[3]，

其中表示水跃半径，临界半径，雷诺数，其余参数见示意图。

这个公式还挺复杂的，简单解释一下，例如当时，水跃半径满足第二个公式，这是一个非线性方程，如果真想去预测水跃半径则需要根据参数来数值求解。一般在比较系统的实验中，比较合理的做法是绘制

与

的关系图，如图 4 所示，实线为理论结果，散点为实验结果。

当然也有一个比较好用的公式，1993 年丹麦一个叫玻尔的人，给出了这样一个尺度律关系[4]，

这个公式就比较简单，容易检验。比如你要是喜欢动手做实验，可以在家里改变水龙头的流量，测出不同流量下的水跃半径，就可以验证上述关系了。当然这两个公式都有其缺点，但从实验结果来看，用着还算凑合。

上面讲的都是这个领域比较经典的结果。接下来就是大家喜闻乐见的学术撕逼现场了，啊不，应该说是学术争论。第一次见到学术争论，表示无比激动，忍不住想大喊一声，终于赶上直播了！

2018 年，剑桥大学的博士生Bhagat搞了一个大新闻[6]，他的研究结果推翻了水跃问题中近一个世纪的结论。他认为，重力不是形成水跃的主要原因，而表面张力才是。这篇文章一发表，马上就招致了大量的批评，其中最激烈的当属玻尔，就是之前提到的那个丹麦的玻尔，在这个领域算是老专家了。玻尔在 2019 年的文章中指出[7]，剑桥组的研究不仅结果不对，大大高估了表面张力的影响，而且研究方法也出了大问题，尤其是他们对表面张力项的处理甚至违背了最基础的流体力学原理。

我要是剑桥组的人，看到这话立马就要原地爆炸，什么玩意儿，我剑桥流体力学领域人才辈出，上有雷诺斯托克斯，下有Taylor、Bachelor，岂能让人质疑流体力学功底。果不其然，剑桥组开始反击了，他们在 2020 年的文章中写道[8]，我们 2018 年的论文发表后，因为挑战了传统结论，招受了大量的批评，尤其是丹麦组，他们罔顾实验事实，持续发问质疑表面张力的作用。两个组针锋相对，寸步不让，给你们看看他们文章中的措辞，让我这个见惯了四平八稳的学术表达的人，大半夜地笑出了猪叫。

丹麦组：Bhagat et al. use an energy equation with a new surface energy term that is introduced without reference, and they conclude that the location of the hydraulic jump is determined by surface tension alone. We show that this approach is incorrect, and we derive a corrected energy equation.
丹麦组：Bhagat et al. [9] derived the condition (2) by introducing an energy equation that includes a “new term” representing “the flux of surface energy that has been neglected in previous studies.” Here we show that this energy equation is in error, and that it is in disagreement with fundamental fluid dynamical theory.
剑桥组：Since the conclusions of Bhagat et al. (2018) are markedly different from the accepted view of the role of gravity in these thin-fifilm jumps the paper has attracted criticism, most particularly in a recent paper by Duchesne, Andersen & Bohr (2019) who, despite the experimental evidence, continue to question the role of surface tension in these flows.
剑桥组：Despite this experimental evidence several other recent papers (Fernandez-Feria,Sanmiguel-Rojas & Benilov 2019; Scheichl 2019; Sen et al. 2019; Wang & Khayat 2019) continue to support the previous gravity-based theory.

这时候，不免就有和事佬出来了。一个德国的研究组指出[9]，剑桥组的研究结论不是无条件成立的，所以丹麦组的反驳是有道理的，但是丹麦组也没反驳到点子上。这个德国组利用流体力学开源软件 OpenFoam 数值研究了这个问题，他们指出，这个问题的关键点在于流动有没有边界，如果有边界，那么流动很快就能到达稳态，此时水跃的形成一般是重力占主导作用，如果没有边界，流动属于瞬态流动，此时表面张力占主导作用。虽然剑桥组想搞一个大新闻，这不是一个好心态，但他们提出的一个水跃点判别式还挺好用的，就是这个，

其中，。

也就是说，在水跃点，液膜的径向坐标和液膜厚度满足上面的公式。而丹麦组提出的修改公式为，

与剑桥组的结果差一个系数。现在剑桥组的结果与数值结果比对很好，说明丹麦组的公式应该有问题。但是文章也没明说，我估计是不好意思直接打脸，所以他们在文章最后只是说，下一步将会探讨这个系数到底有多大影响。

当然，这些争论都有比较严格的理论推导，我不是这个领域的专家，现在只能默默吃瓜了。不过我估计，不久之后大家对于水跃问题就会达成一个新的认识，能见到一个经典问题枯木逢春，也算是一件有意思的事了。

参考文献

【1】Hager W H. Energy dissipators and hydraulic jump[M]. Springer Science & Business Media, 2013.

【2】Rayleigh L. On the theory of long waves and bores[J]. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character, 1914, 90(619): 324-328.

【3】Watson E J. The radial spread of a liquid jet over a horizontal plane[J]. Journal of Fluid Mechanics, 1964, 20(3): 481-499.

【4】Bohr T, Dimon P, Putkaradze V. Shallow-water approach to the circular hydraulic jump[J]. Journal of Fluid Mechanics, 1993, 254: 635-648.

【6】Bhagat R K, Jha N K, Linden P F, et al. On the origin of the circular hydraulic jump in a thin liquid film[J]. Journal of Fluid Mechanics, 2018, 851.

【7】Duchesne A, Andersen A, Bohr T. Surface tension and the origin of the circular hydraulic jump in a thin liquid film[J]. Physical Review Fluids, 2019, 4(8): 084001.

【8】Bhagat R K, Linden P F. The circular capillary jump[J]. Journal of Fluid Mechanics, 2020, 896.

【9】Askarizadeh H, Ahmadikia H, Ehrenpreis C, et al. Role of gravity and capillary waves in the origin of circular hydraulic jumps[J]. Physical Review Fluids, 2019, 4(11): 114002.